Objectifs
Définir les notions de scalaire et de vecteur.
Décrire les principales opérations réalisées sur les vecteurs, les coordonnées cartésiennes d'un vecteur et la notion de vecteur-position.
Définir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.
Définition et utilisation
Définition
Définition : Définition
Un vecteur est défini par 4 caractéristiques :
Sa droite d'action,
Son point d'application,
Son sens indiqué par une flèche,
Sa longueur, définie par sa norme ou intensité.
Ce vecteur se note de la manière suivante : et se dit : « vecteur AB ».
Utilisation
Utilisation en mécanique appliquée
En mécanique, on utilise les vecteurs dans différentes parties :
En statique, le vecteur en bleu sur le tracteur désigne l'action de la pesanteur sur le tracteur :
|
En cinématique, le vecteur bleu désigne la vitesse de la voiture 1 par rapport à la route 0 :
|
Opérations sur les vecteurs
Addition
Définition : Relation de Chasles
On considère 3 points A, B et C. La relation de Chasles nous permet d'écrire l'égalité vectorielle suivante : |
Méthode : Somme de vecteurs
On considère 2 vecteurs et
que l'on veut additionner. Ces deux vecteurs sont des vecteurs quelconques du plan (Figure 1).
Pour réaliser la somme de et de
, il faut les positionner bout à bout (Figure 2). On relie ensuite l'origine du vecteur
avec l'extrémité du vecteur
, on obtient alors le vecteur
(Figure 3). On a la relation suivante :
Soustraction
Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Définition :
Les sommes et
s'écrivent simplement sous la forme
et
, produit des scalaires 2 et 3 par les vecteurs
et
.
De la même façon, on peut écrire ,
…
Exemple :
Si |
Coordonnées cartésiennes d'un vecteur
Repérage dans le plan
Définition : Coordonnées d'un point
On se place dans le repère (O,x,y). Les coordonnées du point A sont données par les projections de sa position sur les axes x et y : On écrit alors :
|
Définition : Coordonnées d'un vecteur
On considère le repère (O, x, y) et deux points A et B de coordonnées respectives Les coordonnées du vecteur AB s'écrivent : On dit que l'on utilise les coordonnées de « l'extrémité » moins les coordonnées de « l'origine » du vecteur. |
Définition : Autre façon
Calculs dans le plan
Exemple : Exemple
Déterminons le module et la direction du vecteur
Intensité ou norme : |
Remarque :
Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Définition :
Le produit scalaire du vecteur par le vecteur
, noté
, est égal au produit des modules des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l'angle
entre leurs directions respectives.
Si : |
Remarque :
Le produit des deux vecteurs est un nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur.
Si et
sont perpendiculaires (
), alors
.
Le produit scalaire est commutatif : .
Exemple : Exemple d'un produit scalaire
Produit vectoriel de deux vecteurs
Définition
Définition :
Le produit vectoriel du vecteur par le vecteur
, noté
, est un vecteur
perpendiculaire au plan
et tel que :
avec
Remarque :
Si et
sont parallèles, alors